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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Determine en cada caso el valor de la constante $a$
b) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1}=-2$
b) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1}=-2$
Respuesta
En este caso, independientemente del valor de $a$, tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Multiplicamos y dividimos por el conjugado:
Reportar problema
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}-\sqrt{x^{3}+a x-1}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}}{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}} $
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{x^{2}+a x-1})^2-(\sqrt{x^{3}+a x-1})^2}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})} $
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x^{2}+a x-1)-(x^{3}+a x-1)}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})} $
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{3}+x^{2}}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})} $
Sigue presente el "cero sobre cero", pero podemos factorizar la expresión de arriba y...
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{2}(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1})} $
¡Se nos cancelan los $(x-1)$!
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}} $
Tomamos límite:
$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+a x-1}+\sqrt{x^{3}+a x-1}} = \frac{-1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} = \frac{-1}{2\sqrt{a}} $
Genial, ahora igualamos el resultado a $-2$, que es lo que queríamos que de el límite, y despejamos $a$:
$ \frac{-1}{2\sqrt{a}} = -2 $
$ -1 = -4\sqrt{a} $
$ \frac{1}{4} = \sqrt{a} $
$ \frac{1}{16} = a $
y ese es el resultado =)